PROPIEDADES
DE LAS SOLUCIONES DE AX2+BX+C=0
Benito Voltera está preparando un
nuevo espectáculo; en esta ocasión se trata de la famosa obra El lago de los
cisnes, de Tchaikovski.
En varias escenas de la representación
es necesario que la primera bailarina resulte igualmente iluminada por dos
focos situados a los lados, y así evitar sombras que desluzcan los momentos
culminantes. Los focos están dispuestos sobre unos carriles debidamente
disimulados al público.
El director señala a Benito las zonas
idóneas del escenario para tales momentos. La misión de éste es determinar con
exactitud los puntos de igual iluminación.
Benito está profundamente preocupado
porque ha perdido el papel en el que tenía escrita su maravillosa fórmula.
Objetivos
a. Encontrar
las fórmulas que relacionan la suma y producto de las soluciones de la ecuación
de segundo grado descubierto por Benito.
b. Saber
cómo, a pesar de haber perdido Benito la fórmula, es capaz de encontrar los
puntos igualmente iluminados.
c. Averiguar
la potencia de uno de los dos focos, conociendo la potencia del otro, la
distancia que los separa y la suma y producto de las distancias a dicho foco de
los puntos.
Actividades
1. Si
en el primer problema de la lección anterior no te equivocaste, la ecuación de
segundo grado que debiste obtener, que es la que ha perdido Benito, es (I-I´)x2-2Idx+Id2=0.
¿Cuáles son sus coeficientes? Escribe las fórmulas que relacionan la suma y
producto de las soluciones de esta ecuación de segundo grado con los
coeficientes.
2. Aunque
Benito ha perdido el papel en el que tenía escrito su fórmula, conserva otro en
el que tiene las fórmulas que verifican la suma y el producto de las soluciones
de esta ecuación. Estas fórmulas son:
¿Cómo se calcula la ecuación de segundo
grado que le da los puntos exactos igualmente iluminados por dos focos de
intensidad I=200 bujías e I´=50 bujías, distantes entre sí 3 metros? (Recuerda
que se ha perdido la fórmula). Encuentra tú esos puntos. Haz un dibujo que
refleje esta situación.
3. ¿Dónde
tendría que colocarse la primera bailarina para estar igualmente iluminada por
dos focos de 396 y 154 bujías de intensidad, respectivamente, y distantes entre
sí 4 metros?
4. En
un momento de la representación se dispone de dos focos de 108 y 300 bujías de
intensidad, separados entre sí 4 metros,
¿dónde debería colocarse la primera bailarina para estar igualmente
iluminada? (Recuerda que una solución negativa indica que el objeto igualmente
iluminado se encuentra a la izquierda del foco de la izquierda; en este caso,
del foco de menor intensidad).
5. Dos
focos situados a tres metros de distancia, iluminan igualmente dos puntos. La
suma de distancias del foco A a dichos puntos, es 8 metros y el producto 12
metros. Si el foco B tiene una potencia de 100 bujías, ¿qué potencia tiene el
foco A? ¿Cuáles son las distancias de los puntos igualmente iluminados al foco
A?
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