8.29. LA FUNCION CUADRATICA

LA FUNCION CUADRATICA

El director de una fábrica de harinas observa cómo los beneficios de su empresa están en función de la producción. Después de laboriosos estudios, descubre que la relación existente viene dada por la función y=10.000x²-120.000; donde x representa las toneladas producidas, que pueden variar de 0 a 20 (capacidad de producción  máxima de la fábrica) e y los beneficios obtenidos expresados en pesetas.

Ocurre, que los gastos de producción (trigo, mano de obra y operatividad de las instalaciones), también están en función de las toneladas producidas. La expresión que determina dicha relación es g=40.000x; donde x representa las toneladas de harina y g los gastos de producción.

Objetivos

a.    Averiguar el mínimo número de toneladas que hay que producir para amortizar los gastos.

b.    Dibujar la gráfica de la evolución económica de la empresa.

c.    Calcular la altura de la arcada central del puente que da acceso a la fábrica.

Actividades

1.    Dibuja la gráfica de la función y=10.000x²-120.000 y la gráfica de la función y=40.000x sobre unos mismos ejes de coordenadas. En el eje de ordenadas utiliza la escala 1:20.000, es decir, una unidad representa 20.000 pesetas, y en el eje de abscisas, 1:2, o sea, una unidad representa 2 toneladas.

2.    Las dos gráficas anteriores se cortan aumentasen de modo que los costes de producción viniesen dados por la función y=110.000x, ¿cuál debería ser la producción mínima para amortizar los gastos?

3.    Si los gastos de mano de obra aumentasen de modo que los costes de producción viniesen dados por la función y=110.000x, ¿cuál debería ser la producción mínima para amortizar los gastos?

4.    El beneficio de una empresa es igual a la diferencia entre las ganancias y los costes. Si en la fábrica de harinas las ganancias vienen dadas por y=10.000x²-120.000y los costes por y=40.000x, halla la diferencia y dibuja la gráfica de los beneficios, así tendrás representada la evolución económica de la empresa. ¿Cuáles son los beneficios de la empresa si produce 8 toneladas de harina? ¿Cuántas toneladas debe producir como mínimo para tener un beneficio de 3 millones de pesetas?

5.    Para acceder a la fábrica hay que cruzar un puente cuya arcada central es una parábola que responde a la función cuadrática y=-1/20 x²+20. Representa la gráfica de esta función.

6.    ¿Cuál es la altura desde el vértice de la arcada central del puente a la superficie del río? (Considera que el eje de ordenadas representa al río).