8.17. TEOREMA DEL RESTO

TEOREMA DEL RESTO

Nuestro conocido profesor Irigoyen ha construido para sus experimentos un complicado aparato electrónico al que llama DIXMA. Este aparato tiene una entrada, que normalmente se conecta a un amplificador de los que él utiliza, y dos salidas que se llaman C y R.

El aparato dispone de un mando con un indicador en el que puede seleccionar cualquier número. Si con el mando se selecciona un número a, el aparato divide la señal de entrada por x-a. El cociente de esta división se lee en la salida C y el resto en la salida R.

Objetivos

a.    Averiguar las salidas por R y por C, sabiendo la señal de entrada y el número seleccionado con el mando.

b.    Determinar en qué posición hay que colocar el mando para que la salida por R sea cero.

c.    Calcular la señal de entrada, sabiendo las posiciones del mando selector que dan cero a la salida R.

Actividades

1.    Si la entrada al aparato x³-x²+x-1 y el mando está en posición 2, ¿cuáles son las señales en las salidas C y R? Para contestar esta pregunta, divide el polinomio de entrada entre x-2.

2.    ¿Cuál es el valor numérico de x3-x2+x-1 para x=2? Comprueba que este valor coincide con el resto obtenido en la actualidad anterior. ¿Por qué ocurre esto?

3.    Si la entrada al aparato es x3-x2+x-1 y el mando está en posición -3, ¿cuáles son las señales en las salidas C y R? Comprueba que la salida R coincide con el valor del polinomio para x=-3. ¿Quiere decir esto que si x=-3, la entrada es igual a la salida R?

4.    Si la entrada es x³-2x²-5x+6, y el mando está en posición 3, comprueba que la salida por R vale a cero. Para ello divide el polinomio de entrada entre x-3. ¿Es x=3 una raíz? Compruébalo.

5.    Divide x³-2x²-5x+6 entre x-1, x+2 y x-3, sucesivamente, y comprueba que los restos que obtienes son cero. Di tres raíces de este polinomio. ¿En qué posiciones se debe poner el mando para que la salida por R sea cero?

6.    Descompón x³-2x²-5x+6 en producto de factores.

7.    Si la entrada es x³-x²-4x+4, ¿en cuál de los factores valores: -1, -2, -4, 1, 2 y 4, se debe poner el mando para que la salida R sea cero?

8.    Descompón x³-x²-4x+4 en producto de factores.

9.    Si el mando se pone en las posiciones 1, 2 y 3, la salida por R es cero. Sabiendo que la señal de entrada es un polinomio de grado tres y que el coeficiente de x³ es uno, ¿cuál es la salida?