8.11. POTENCIAS DE BASE RACIONAL

POTENCIAS DE BASE RACIONAL

Los científicos anteriores al siglo XVII creían, al igual que Aristóteles, que la velocidad de caída libre de los cuerpos sobre la superficie terrestre dependía del peso que tuvieran. Así, un objeto que pesase el doble que otro caería con doble velocidad.

El científico italiano Galileo Galilei demostró que esta suposición era falsa. Dejando caer dos objetos de distinto peso desde la torre inclinada de Pisa, probó que ambos llegaban al suelo al mismo tiempo y, por tanto, sus velocidades de caída eran iguales.

De ésta y de otras experiencias similares que realizó dedujo la ley que siguen los cuerpos en su caída y que expresó mediante la fórmula d=9.4×t². La letra d indica la distancia recorrida por el objeto en su caída expresada en metros, y la letra t el tiempo empleado en la caída expresado en segundos.

Objetivos

a.    Hallar la distancia que recorre un cuerpo que cae.

b.    Calcular la profundidad de un pozo.

c.    Estudiar la ley que rige la caída de los cuerpos en un lejano planeta.

Actividades

1.    Halla la distancia recorrida por un cuerpo en su caída libre, sabiendo que tarda en caer ¼ de segundo.

2.    Si un objeto soltado desde lo alto de una torre ha tardado 20/7 segundo en llegar al suelo. ¿cuál es la altura de la torre?

3.    Queremos hallar la profundidad de un pozo. Soltamos una piedra y contamos el tiempo que tarda en golpear el agua. Si el tiempo ha sido 4+2/7 segundos, ¿cuál es la profundidad del pozo? Se desprecia el tiempo que tarda el sonido del golpe en llegar a la boca del pozo.

4.    La velocidad que lleva un cuerpo en su caída en un instante dado viene expresada por la fórmula v=9,8×t, donde v indica la velocidad en metros por segundo y t el tiempo en segundos. ¿Cuál es la velocidad de un objeto que cae al cabo de 5 segundos? ¿Y al cabo de 10 segundos? ¿La velocidad del objeto que cae aumenta con el tiempo?

5.    Si en la actualidad se hubiese demostrado que, en un lejano planeta, la caída de los cuerpos obedece a la ley dada por la fórmula d=15.625×t³, ¿cuál sería la distancia en metros que recorrería un objeto si el tiempo empleado en la caída fue ?

6.    Si en otro planeta la caída de los cuerpos obedeciera a la ley d=10×t^.-3, ¿cuál sería la distancia recorrida por un cuerpo en su caída de ¼ segundo? ¿Y si cayera durante ½ segundo? ¿Y si es durante 1 segundo?

8.10. DIVISION DE NUMEROS RACIONALES

DIVISION DE NUMEROS RACIONALES

Vicente Azaroso tiene una merecida fama de gafe. Es de esas personas a las que todo les sale mal y augura siempre un final fatal para todo aquello que emprende. Por si esto fuera poco, es un contumaz supersticioso, hasta el punto de afirmar que “no serlo trae mala suerte”.

Un buen día, martes y 13 para su desgracia, ya se levantó pensando en las desventuras que podrían acontecerle. En efecto, no se equivocó: durante todo el día, como si de una pesadilla se tratase, se le plantearon situaciones complicadas de resolver.

Objetivos

a.    Averiguar cuántas tablas de una determinada longitud puede sacar de otra más grande.

b.    Determinar el tiempo que tardará en estudiar seis lecciones.

c.    Resolver el problema que le plantea su hijo Juan.

Actividades

1.    A Vicente le están construyendo un chalet. Tiene contratados 8 obreros que en estos momentos están levantando una tapia. Pregunta cuántos metros enladrilla cada uno en 1 hora y el capataz le dice “No sé, pero entre todos hacemos 9+3/5 metros a la hora”. ¡Ya empezamos! ¿Cuál es la respuesta a la pregunta de Vicente?

2.    Aún estaba resolviendo el problema, cuando anterior, cuando su mujer le dijo que cada bolsa de patatas 5-4/5 kg y cuesta 147 pesetas. ¿Cuánto cuesta cada kg de patatas?

3.    Para huir de tanto problema, se refugia en su taller de carpintería, a la que es aficionado. Está construyendo una estantería y dispone de una tabla de 14/5 metros de longitud. ¿Cuántas tablas de 6/15 m puede sacar?

4.    Ante tal fatalidad fue a inspeccionar las obras del chalet. Nada más llegar, el aparejador, que es amigo suyo, después de preguntarle lo que había tardado en llegar, le planteó el siguiente problema: has tardado 1+3/5 horas en llegar y has recorrido 77-1/5 km. ¿A qué velocidad media has venido?

5.    De vuelta a casa se dispuso a estudiar para un próximo examen de ascenso en su empresa. Observó que tardaba 24 minutos en estudiar 3 de las 5 preguntas de que constaba la lección. Se planteó cuánto tiempo tardaría en estudiar 6 lecciones.

6.    Estando en ello, su hijo Juan, que estaba haciendo problemas de matemáticas, pidió ayuda a su padre: “¿Por qué número hay que dividir 3+4/7 para obtener 6 de cociente?

7.    Después de cenar y mientras veía la televisión, su mujer estaba haciendo unos pasatiempos y pidió su colaboración: “Si por el precio de un kg de arroz puedo comprar 3/5 kg de café, ¿cuántos kg de arroz puedo comprar con lo que cuestan 6 kg de café?”. Afortunadamente, iban a dar las 12 y comenzaba el día 14.

8.9. PRODUCTO DE NUMEROS RACIONALES

PRODUCTO DE NUMEROS RACIONALES

Un profesor propuso dos problemas a los alumnos de las distintas aulas donde impartía sus clases. Para resolverlos no eran necesarios los números, pero sí cierta dosis de ingenio. Los problemas eran estos:

1.    Un tren sale de Madrid con dirección a La Coruña. Una hora más tarde, sale otro de La Coruña hacia Madrid. Si los dos llevan la misma velocidad, ¿cuál de los dos estarán más cerca de La Coruña cuando se encuentren?

2.    Dos jóvenes pastores idearon un juego para aliviar el aburrimiento que, a veces, les invadía; uno de ellos mentiría todos los lunes, martes y jueves, y sólo esos días. El otro, mentiría los jueves, viernes y sábados, aunque el resto de los días diría siempre la verdad. Una mañana los dos afirmaron: Ayer me tocó mentir ¿Sabrías decir qué día de la semana era?

Objetivos

a.    Calcular la fracción que expresa el número de alumnos de una clase que han resuelto el primer problema.

b.    Encontrar la fracción correspondiente a los alumnos que han resuelto el segundo problema.

c.    Escribir una fracción que exprese el número de alumnos de más de 14 años que han resulto por lo menos un problema.

Actividades

1.    En una de las aulas, 7/8 del total de los alumnos resolvieron el primer problema y, de ellos, 3/5 eran chicas. ¿Qué fracción del total de los alumnos expresa el número de chicas que habían resuelto el primer problema? ¿Cuántos alumnos los resolvieron, si en el aula había 40 en total? ¿Cuántos de ellos eran chicas?

2.    El segundo problema fue resuelto por 2/5 del total de los alumnos y, de ellos, 1/8 no habían resuelto correctamente el primero. Escribe la fracción que indica, del total de los alumnos, los que habían resuelto el segundo problema pero no el primero.

3.    En otra de las aulas, 5/6 del total de los alumnos resolvieron correctamente el primero y, de ellos, 3/10 no resolvieron el segundo. ¿Qué fracción del total de los alumnos representa a los que solucionaron el primer problema pero no el segundo?

4.    En esa misma clase, el segundo problema fue resuelto por 7/12 del total de los alumnos. De estos 7/12, 3/7 eran chicas y, de ellas 2/3 tenían más de 14 años. Escribe la fracción que representa a las alumnas de más de 14 años que resolvieron el segundo problema.

5.    En  otra clase, 11/24 de los alumnos han resuelto correctamente los dos problemas. De estos 11/24, 4/13 son chicas, y de ellas, 39/44 no llevan gafas. ¿Qué fracción del total, representa a las alumnas de esta clase que no llevan gafas y han resuelto los dos problemas?

6.    Del total de los alumnos a los que se han propuesto los problemas, 13/16 han resuelto sólo uno de ellos y 1/9 han resuelto los dos. De los que han resuelto uno o dos problemas, 3/5 tienen más de 14 años. Calcula, aplicando la propiedad distributiva de los números racionales, la fracción que representa a los alumnos de más de 14 años que han resuelto por lo menos un problema.

8.8 SUMAS Y RESTAS COMBINADAS DE NUMEROS RACIONALES

SUMAS Y RESTAS COMBINADAS DE NUMEROS RACIONALES

El economista de una importante empresa ha ideado un procedimiento para evitar que periodistas intrépidos, especializados en economía, conozcan el movimiento de su capital; es decir, si la empresa tiene superávit (ganancias) o déficit (pérdidas). Con ello ha conseguido que las empresas de la competencia tengan los mínimos datos posibles.

La idea, excepcionalmente simple, consiste en mantener en secreto el capital que tiene cuando se le ocurre el proyecto. A continuación escribe como fracción de ese capital cualquier ganancia (fracción positiva) o pérdida (fracción negativa).

Objetivos

a.    Averiguar si la empresa tiene ganancias o pérdidas en el mes de marzo.

b.    Describir si la empresa tiene déficit o superávit con sólo ver las operaciones del último balance

Actividades

1.    En el mes de marzo la empresa gana 1/3 del capital en ventas, gasta 1/8 en las nóminas de los empleados, paga 1/9 en concepto de publicidad y recibe 2/3 de la empresa filial en Italia. ¿Qué operaciones tiene que hacer el economista? ¿Hay ganancias o pérdidas?

2.    Un periodista descubre las cuentas del primer semestre, aunque no entiende nada. La operación que lee es:

¿Qué ganancias o pérdidas tiene?

3.    En el mes de abril las ganancias fueron de 3/5 y en mayo de 2/3 de capital. Representa estos números racionales sobre una recta y di en qué mes fueron mayores las ganancias.

4.    La última operación que ha hecho el economista es 

   Indica la fracción que representaría las ganancias y la fracción que representaría las pérdidas. ¿Hay más ganancias que pérdidas?

5.    Al cierre del año quiere tener unas ganancias de 7/5 del capital, y en mayo llevan 2/3. ¿Cuánto les falta?

6.    Sobre un papel de la mesa del despacho del economista se lee “Balance de los dos últimos productos sacados al mercado”.

 

7.    En los últimos cinco meses del año la operación es 

 ¿Hay déficit o superávit?

BANDO SALIDA PROCESIONAL DE LA VIRGEN DE LA CANDELARIA 2 FEB. 2018

8.20. ECUACIONES EN Q

ECUACIONES EN Q

Un eminente físico está estudiando las temperaturas de fusión y ebullición de algunos elementos naturales.

A uno de sus mejores termómetros se le han borrado los números que indicaban la temperatura. Para poder seguir haciendo uso de él ha adosado una escalilla que mide las alturas de la columna de mercurio en milímetros. Conocida la altura de mercurio se puede saber la temperatura. Para ello ha introducido el termómetro en agua a 0ºC y en agua hirviendo cuya temperatura es de 100ºC. En el primer caso la columna medía 50 mm y en el segundo 300 mm.

Objetivos

a.    Averiguar cuántos milímetros asciende el mercurio por cada grado de temperatura.

b.    Conocer la temperatura sabiendo los milímetros que mide la columna de mercurio.

c.    Calcular la temperatura de ebullición de un líquido.

Actividades

1.    Para hacer cuántos milímetros de longitud sube el mercurio al aumentar un grado de temperatura, se resuelve la ecuación 50+100x=300, donde x es el aumento de longitud por cada grado de temperatura. ¿Es una ecuación de primer grado? Indica sus términos. ¿Es de coeficiente enteros?

2.    Comprueba que la solución de 50+100x=300 es x=5/2.

3.    Divide los dos miembros de la ecuación 50+100x=300 entre 50 y comprueba que obtienes una ecuación equivalente.

4.    Resuelve la ecuación 1+2x=6.

5.    A cierta temperatura la columna de mercurio mide 125 mm. Para saber a qué temperatura está el termómetro se resuelve la ecuación 50+5/2 x = 125, donde x es la temperatura. ¿Es una ecuación de primer grado? ¿Tiene coeficientes racionales? Resuélvela.

6.    Un líquido se congela a 4ºC. Para saber la temperatura en grados Fahrenheit, nuestro físico resuelve la ecuación (x-32)/9 = 4/5, donde x es la temperatura en grados Fahrenheit. Calcula tú esta temperatura.

7.    A cierta temperatura, el número de grados centígrados coincide con el número de grados Fahrenheit. Para conocer esta temperatura resuelve la ecuación (x-32)/9 = x/5.

8.    Por procedimientos teóricos, el físico ha obtenido que la temperatura de ebullición de un líquido debe seguir la ecuación x/6 + x/8 = (x-40)/4 + (x-30)/6, siendo x la temperatura de ebullición. Calcúlala tú mismo resolviendo esta ecuación.

8.7. RESTA DE NUMEROS RACIONALES

RESTA DE NUMEROS RACIONALES

Nuestro Sistema Solar está formado por una estrella, el Sol, y nueve planetas que giran continuamente a su alrededor.

El radio y la masa de estos planetas se miden tomando como unidad, respectivamente, el radio y la masa de la Tierra.

En la tabla siguiente, usando números racionales, se dan las medidas aproximadas de estas características de los planetas del Sistema Solar:

Objetivos

a.    Calcular la diferencia que existe entre los radios y las masas de dos planetas.

b.    Saber qué planeta tiene mayor radio y mayor masa.

c.    Comparar el radio y la masa de la Tierra con los del resto de los planetas.

Actividades

1.    Observa las fracciones que representan los radios de Saturno y de Neptuno. ¿Cómo son sus denominadores? Calcula la diferencia entre los radios de estos dos planetas. Determina la diferencia que hay entre sus masas.

2.    Observa ahora las fracciones correspondientes a los radios de Marte y Mercurio. ¿Cuál es la diferencia que hay entre ellos? Calcula también la diferencia que hay entre sus masas.

3.    ¿Cómo son los denominadores correspondientes a las masas de Mercurio y Neptuno? Según esto, ¿cuál de los dos dirías que tiene mayor masa? Calcula la diferencia entre las dos.

4.    Los números racionales correspondientes a lo radios de Urano y Neptuno, ¿son positivos o negativos? Si restas el radio de Neptuno del de Urano, ¿obtienes un número racional positivo o negativo?

5.    ¿Podría existir un planeta cuya masa fuera la de Plutón menos la de Urano? ¿Por qué? ¿Podría existir un planeta cuyo radio fuera el de Venus menos el de Plutón? ¿Por qué?

6.    Júpiter y Saturno son los dos mayores planetas del Sistema Solar. Calcula la diferencia que existe entre sus radios y di cuál de las dos es mayo teniendo en cuenta que si obtienes un número racional positivo, el minuendo es mayor que el sustraendo.

7.    ¿Cuál es la diferencia entre las masas de Júpiter y Saturno? ¿Cuál de los dos tiene mayor masa?

8.    Calcula la diferencia que existe entre el radio de la Tierra y el de cada uno de los planetas del Sistema Solar.