8.18. LA FUNCION POLINOMICA

LA FUNCION POLINOMICA

Un grupo de científicos está investigando la relación que hay entre el aumento de longitud y el aumento de temperatura en unas nuevas sustancias de origen plástico no comercializadas todavía.

Aunque en este estudio están ratificando las relaciones que ya se conocían, observan una peculiaridad de estas sustancias y que puede ser de gran utilidad en muchos campos de la tecnología: son extremadamente sensibles al calor, y esto hace que al aumentar la temperatura aumente considerablemente la longitud de los objetos fabricados con ellas, conservando todas sus propiedades.

El mayor o menor aumento de longitud está relacionado con el aumento de la temperatura, y generalmente es una función.

Objetivos

a.    Averiguar si la relación que existe entre la longitud y la temperatura para una determinada sustancia es o no una función.

b.    Representar gráficamente las relaciones entre longitud y temperatura para unas determinadas sustancias.

c.    Determinar, conocida la función que relaciona la longitud y la temperatura, si existe o no aumento de longitud.

Actividades

1.    A las temperaturas de 10ºC, 20ºC, 30ºC y 40ºC corresponde un aumento de longitud de 5 mm, 10 mm, 15 mm y 20 mm, respectivamente. Escribe un diagrama y unas tablas que indiquen relación.

2.    ¿Cuál es la variable independiente y cuál la dependiente? ¿Cuál es el conjunto origen y cuál es el conjunto imagen? ¿Es una función? Haz una representación gráfica de dicha relación.

3.    Si designas por x los aumentos de temperatura y por y los de longitud, ¿sería capaz de escribir una expresión para representar dicha función?

4.    En una sustancia observan que el comportamiento descrito al principio es válido, salvo a la temperatura de 10ºC, que experimenta en ocasiones un aumento de longitud de 5 mm y en otras de 7 mm. ¿Es una función la relación que describe este hecho? Razónalo.

5.    Las fórmulas que representan esa relación para otras sustancias son f(x)=x, f(x)=2x, f(x)=1/2 x, donde f(x) representa el aumento de longitud y x el aumento de temperatura. Representa gráficamente estas funciones y observa qué información dan los distintos coeficientes. Nota: Estas relaciones son válidas para xÎQ⁺.

6.    Si se  llama y a la longitud final y x a la temperatura a la que es sometida una barra de longitud inicial 10 mm y resulta que y=10+2x, ¿sabrías representar gráficamente esta información? ¿Qué valores se pueden dar a x?

7.    Si dos sustancias distintas de 10 mm y 5 mm de longitud inicial responden, respectivamente, a las fórmulas y=10+5x e y=5+2x, ¿existe una temperatura respecto de la cual la longitud de ambas barras coincida? Obsérvalo gráficamente.

8.    ¿Qué ocurriría en las condiciones del problema anterior si las expresiones fuesen y=10+2x e y=5+2x?

9.    Si este estudio de relación entre longitud final y temperatura viniera dado por la función constante y=10, ¿Qué representaría? Obsérvalo gráficamente.

8.17. TEOREMA DEL RESTO

TEOREMA DEL RESTO

Nuestro conocido profesor Irigoyen ha construido para sus experimentos un complicado aparato electrónico al que llama DIXMA. Este aparato tiene una entrada, que normalmente se conecta a un amplificador de los que él utiliza, y dos salidas que se llaman C y R.

El aparato dispone de un mando con un indicador en el que puede seleccionar cualquier número. Si con el mando se selecciona un número a, el aparato divide la señal de entrada por x-a. El cociente de esta división se lee en la salida C y el resto en la salida R.

Objetivos

a.    Averiguar las salidas por R y por C, sabiendo la señal de entrada y el número seleccionado con el mando.

b.    Determinar en qué posición hay que colocar el mando para que la salida por R sea cero.

c.    Calcular la señal de entrada, sabiendo las posiciones del mando selector que dan cero a la salida R.

Actividades

1.    Si la entrada al aparato x³-x²+x-1 y el mando está en posición 2, ¿cuáles son las señales en las salidas C y R? Para contestar esta pregunta, divide el polinomio de entrada entre x-2.

2.    ¿Cuál es el valor numérico de x3-x2+x-1 para x=2? Comprueba que este valor coincide con el resto obtenido en la actualidad anterior. ¿Por qué ocurre esto?

3.    Si la entrada al aparato es x3-x2+x-1 y el mando está en posición -3, ¿cuáles son las señales en las salidas C y R? Comprueba que la salida R coincide con el valor del polinomio para x=-3. ¿Quiere decir esto que si x=-3, la entrada es igual a la salida R?

4.    Si la entrada es x³-2x²-5x+6, y el mando está en posición 3, comprueba que la salida por R vale a cero. Para ello divide el polinomio de entrada entre x-3. ¿Es x=3 una raíz? Compruébalo.

5.    Divide x³-2x²-5x+6 entre x-1, x+2 y x-3, sucesivamente, y comprueba que los restos que obtienes son cero. Di tres raíces de este polinomio. ¿En qué posiciones se debe poner el mando para que la salida por R sea cero?

6.    Descompón x³-2x²-5x+6 en producto de factores.

7.    Si la entrada es x³-x²-4x+4, ¿en cuál de los factores valores: -1, -2, -4, 1, 2 y 4, se debe poner el mando para que la salida R sea cero?

8.    Descompón x³-x²-4x+4 en producto de factores.

9.    Si el mando se pone en las posiciones 1, 2 y 3, la salida por R es cero. Sabiendo que la señal de entrada es un polinomio de grado tres y que el coeficiente de x³ es uno, ¿cuál es la salida?

8.16. DIVISION DE POLINOMIOS

DIVISION DE POLINOMIOS

El profesor Irigoyen, que tiene problemas de audición, se ha propuesto clasificar los distintos grados de sordera. Para ello ha inventado un amplificador que multiplica la potencia, expresada en decibelios, de la señal emitida.

En un pequeño habitáculo, al que llegan una gran cantidad de cables y altavoces, conviven sus cobayas. Todas las señales que emite el amplificador van directamente a unos electrodos colocados en las cabezas de sus sufridos pacientes.

A partir de estos momentos se inicia el estudio del comportamiento de los roedores.

Objetivos

a.    Saber cuál es la señal multiplicadora, si se conoce la señal de entrada y la de salida.

b.    Averiguar cuál es la señal de entrada, si conocemos la señal multiplicadora y la de salida.

c.    Cómo reducir una señal de grado 7 al grado mínimo de audición, que es 4.

Actividades

1.    Si una señal de potencia 2x³ decibelios queda transformada en otra de 8x⁵, ¿por qué señal ha multiplicado el amplificador la señal 2x³ para obtener la señal 8x⁵?

2.    Si la señal resultante al multiplicar 3x² por otra nos da una señal de grado 7, ¿de qué grado sería la señal no conocida? ¿Y cuál sería ésta si el resultado final fuese 5/4 x⁷?

3.    Si el amplificador transforma la señal 2x en la señal 2x³+x²+x, ¿cuál fue la señal multiplicadora?

4.    Recordando la relación existente entre los términos de una división no exacta, ¿qué hay que añadir al resultado de multiplicar una señal P(x) por 2x, si se desea que la señal resultante responda a la expresión 2x³+x²+x+4?

5.    Escribe un polinomio de grado cinco. Si esta señal se quiere obtener en el amplificador multiplicando una señal de entrada por 2x+4, ¿cuál sería esta señal de entrada? ¿Sería suficiente la multiplicación por 2x+4 o se necesitaría además una suma?

6.    Si se desea mandar a la  jaula una señal de grado tres y otra de grado dos como máximo, ¿será esto posible si se manda el cociente y el resto respectivamente de la división de (x⁵+x³+x+4) entre (x³+2x²+x+1)? Compruébalo.

7.    Si una señal la dividimos entre 2x²+x y nos da de cociente x³+2x² y de resto x+2, ¿cuál es dicha señal?

8.    El profesor Irigoyen ha descubierto que la señal mínima a la que responde un determinado animal es de grado 4. Si tiene una señal x7+2x5+x3, busca un polinomio divisor para que la señal resultante sea de grado pedido. ¿Cuál sería dicha señal según tu polinomio divisor?

8.15. PRODUCTOS DE POLINOMIOS

PRODUCTO DE POLINOMIOS

Ana, Pablo y María están jugando a la oca polinómica.

Las 60 casillas de que consta el juego están divididas en tres zonas de 20 casillas cada una. La primera zona es la de la suma, la segunda, la del producto y la tercera, la del valor numérico.

Salvo las casillas de la última zona, que toman sólo valores enteros, el resto toman el valor de un polinomio, de un monomio o de un número entero.

Cada jugador tira por turno el dado y avanza el número de casillas que corresponda. Dependiendo de la zona en la que cae, suma, multiplica o calcula el valor numérico de la expresión que tenía por el valor obtenido en la casilla y apunta el resultado correspondiente.

Los jugadores tienen que calcular el valor numérico de su polinomio para todos los valores obtenidos en esta zona y anotar el mayor de todos los resultados sacados.

Gana la partida el jugador que obtiene la mayor puntuación.

Objetivos

a.    Averiguar qué resultado obtiene Ana en las tres primeras tiradas.

b.    Calcular la expresión que escribe Pedro cuando pasa de la zona de la suma a la del producto.

c.    Determinar quién gana la partida.

Actividades

1.    Ana, que era l primera en tirar, ha sacado en las 4 primeras jugadas un 6, un 4, un 5 y un 6, y en la casillas correspondientes ha obtenido los valores x², 7, 4x²-7 y 3x³. Como en las tres primeras tiradas estaba en la zona de la suma, ha sumado los resultados. ¿Qué resultado total ha obtenido en las 20 primeras casillas? ¿Qué operación tuvo que realizar después de la cuarta tirada? ¿Qué resultado obtuvo?

2.    Al final de la zona de la suma Pedro tenía anotada la expresión 2x²+5x-6 y con la siguiente tirada cae en una casilla que pone -4x. ¿Cuál fue la siguiente expresión que escribió?

3.    Después de las dos primeras tiradas. María tenía anotado 2x+7. La siguiente jugada, en la zona de la suma, obtuvo x²+5x+1 y en la primera del producto 2x+4. ¿Qué resultado total obtuvo después de esta tirada?

4.    Las dos siguientes tiradas de Pedro fueron a caer en las casillas que ponía x² y –x-1, dentro de la zona del producto. ¿Qué expresión anotó después de estas dos tiradas? Recuerda cuál era la anterior inscripción de Pedro.

5.    María se quejaba porque todas las operaciones difíciles le tocaban a ellas. Cuando se encontraba en la zona del producto y en su papel tenía anotada 38x³+36x²-8x-16 cayó en la casilla con la inscripción -5x²+x-2. ¿Cuál fue su siguiente anotación? ¿Qué grado tenía el polinomio obtenido?

6.    Al llegar a la zona del valor numérico las expresiones obtenidas por cada uno eran:

Ana: 2x⁷+9x³-4x²-7x+25

Pedro: x²+2x⁴-3x³+18

María: 4x⁶+47x⁴-5x³+17x²-23x+48

      Si Ana obtiene -2 y 1; Pedro -1 y 0, y María 1 y -3, ¿quién ganó la partida?

8.14. SUMA DE POLINOMIOS

SUMA DE POLINOMIOS

Debido a la alta productividad de la empresa Valdés, S.A., se tuvo que abrir una nueva sucursal a la que hubo que trasladar parte de la mercancía existente. El revuelo que se produjo creó desconcierto entre los empleados, que no veían el momento de acabar con el traslado.

Hasta que todo el material estuvo perfectamente ordenado en los nuevos almacenes, fue necesario cuidar el sistema de tarjetas que indicaban la cantidad de material manejado.

Objetivos

a.    Escribir con una única expresión el resultado de cargar un camión con el contenido de tres remesas del material.

b.    Expresar con una sola inscripción los distintos movimientos de carga y descarga.

c.    Averiguar cuánto quedó en el primer edificio, sabiendo el material que había y el que se trasladó.

Actividades

1.    En dos grandes paquetes rezaban las siguientes inscripciones: (4x³+2x²+4x+5) y (x⁴+x²+7). Se tuvo que unir todo en una única expresión. ¿Qué inscripción se puso?

2.    Al hacer la agrupación anterior, alguien sumó x⁴+x²+7 con 4x³+2x²+4x+5, y otra persona, al revés. Comprueba que de ambas formas el resultado que indica el contenido total es el mismo.

3.    En un camión se cargaron tres remesas de una misma sección con las inscripciones: x⁴+4x³+3x²+4x+12; x³+2x+2 y x⁵+7x. ¿Qué inscripción indicaría la carga total?

4.    El contenido de un camión venía representado por x⁴+2x³+7x²+4x+5 y se distribuyó en dos naves. El material instalado en una de ellas estaba dado por x³+5x²+4x+3. ¿Qué expresión se utilizó para el material de la otra?

5.    Al material descargado de un camión, anotado con 2x⁴+3x³-5x²+12, se añadió un nuevo cargamento de la misma sección, de x4-2x3+12x-5; posteriormente, se retiró la cantidad dada por x³-9x+6 y luego otra indicada por 2x⁴+2x³+3x²-6. ¿Cómo indicarías todos los movimientos en una única expresión? ¿Cuál sería la expresión que indicaba la cantidad restante?

6.    Si en el primitivo local había una cantidad total de material de una determinada sección, que venía expresada por 2x⁵+14x⁴+25x³+70x²+48x+47, y en las estancias del nuevo edificio se leen las inscripciones x³+5x²+4x+3; x⁴+x³+2x²+2; x³+2x²+4x+5; 2x⁴+3x³+3x²+9x+12, y queda por distribuir x⁵+3x⁴+2x³+20x²+20x+17, ¿cuál era la anotación que indicaba lo que quedó en el primer local?

8.13 POLINOMIOS

POLINOMIOS

La sección 3 del departamento de embalaje de la empresa Valdés, S.A. tiene una forma muy curiosa de trabajar: con tres unidades del producto forma el paquete del primer grado; con tres paquetes de éstos (3² unidades), forma el paquete de segundo grado; con 3 de segundo grado (3³unidades), forma el paquete de tercer grado, y así sucesivamente.

Como el resto de las secciones utilizaban el mismo sistema, aunque cambiando el número base de embalaje, el departamento de etiquetado decide utilizar un sistema que sea válido para todas las secciones: en lugar del número base ponen x, el grado del paquete lo colocan como exponente x. Así, la expresión x³+2 x²+4x+3, en cualquier sección, significa que hay 3 unidades sueltas, 4 paquetes de primer grado, 2 de segundo y 1 de tercer grado. Con este sistema, para saber cuántas unidades de producto hay en una sección basta con sustituir x por el número base correspondiente.

Objetivos

a.    Utilizar una sola expresión para anotar las reservas de cada dependencia.

b.    Averiguar el material que queda en una sección, conociendo el movimiento de material que ha habido.

c.    Calcular el número total de unidades de cualquier sección, conociendo la expresión que lo determina.

Actividades

1.    ¿Qué polinomio se utilizará para expresar que hay 4 unidades sueltas? ¿De qué grado es? ¿Cuál es su coeficiente?

2.    En una sección hay 4 montones de paquetes de tercer grado. Uno de los montones tiene 4 paquetes, otro 5, otro 2, y el último 3 paquetes. Escribe la expresión correspondiente a cada montón mediante monomios. Si pertenecieran a la sección 2, ¿cuántas unidades habría en cada montón?

3.    ¿Se pueden agrupar todos los montones anteriores en uno solo? En caso afirmativo, indica cómo lo expresarías.

4.    En una de las dependencias hay 2 paquetes de grado 2, 5 de grado 3, 4 de grado 2, 3 grado 3, 5 unidades sueltas y 1 paquete de grado 2. ¿Cómo se indicará con una sola expresión?

5.    La expresión obtenida en el ejercicio anterior, ¿cómo se llama? Ordénala. ¿Cuál es su grado?

6.    En una dependencia se puede leer la siguiente inscripción, referente a entradas y salidas de material:

4x²+3x²-(2x²+x²)+3x²+ (4x²-3x²)

¿Podrías abreviar al máximo esta expresión? ¿Qué significa el resultado final? Si la dependencia fuera de la sección 4 de embalaje, ¿cuántas unidades habría?

7.    Agrupa, igualmente, al máximo, la siguiente expresión:

x³+2x+x²-x+x³+4x²+5-x

     Ordénala y complétala.

8.    Si la inscripción 2x²-7x+5 sabemos que pertenece a la sección 2 de embalaje, ¿cuánto material indica? ¿Y si pertenece a la sección 3 de embalaje?

8.12. RACIONES CUADRADAS DE NUMEROS RACIONALES

RAICES CUADRADAS DE NUMEROS RACIONALES

Un equipo de científicos ha obtenido una fórmula para saber la velocidad, aproximada del sonido una vez que se conoce la temperatura ambiente. La fórmula, en metros partido por 

segundo, es s, donde v representa velocidad del sonido y t la temperatura.

Uno de los experimentos ha consistido en medir el tiempo que tardaba el sonido en llegar desde una esquina hasta la opuesta, de un campo de fútbol, según su diagonal. Calcularon primero la velocidad del sonido experimentalmente; después midieron la temperatura e hicieron la operación

Por último, compararon los dos resultados y vieron si coincidían.

Por el momento los resultados son satisfactorios, aunque son conscientes de que queda mucho por investigar.

Objetivos

a.    Calcular la velocidad del sonido a cualquier temperatura.

b.    Calcular la diagonal del campo de fútbol y el tiempo que tardó el sonido en recorrerlo.

c.    Operar con las raíces cuadradas que se le presentan al equipo de investigadores.

Actividades

1.    Calcula la velocidad del sonido a -48ºC y a 51ºC. Para ello sustituye t por -48 y por -51 en la fórmula 

     Calcula la raíz que obtienes y multiplica por 20.

2.    Calcula la velocidad del sonido a las siguientes temperaturas -17ºC, 16ºC, 27ºC y 47ºC. ¿Cuáles de las raíces que aparecen son iguales a números irracionales?

3.    El campo de fútbol media 100 m de largo por 60 m de ancho. Aplica el teorema de Pitágoras y comprueba que la diagonal mide   m.