8.24. ECUACION DE SEGUNDO GRADO

ECUACION DE SEGUNDO GRADO

Esther Fardel es una física con un gran prestigio en el campo de los juguetes electrónicos, donde ha dejado bien probada su valía. Actualmente está trabajando en un nuevo prototipo de bólido teledirigido sobre pista. Con un nuevo dispositivo en el motor está logrando la mayor aceleración conseguida hasta ahora, lo que convierte a Tex 1 (así se llama el coche) en el bólido más rápido sobre pista de todos los tiempos.

El próximo año habrá un campeonato mundial de conductores de este tipo de coches. Esther, además de diseñadora, es una consumada campeona. Está segura de quedar entre los tres primeros clasificados.

Objetivos

a.    Calcular el tiempo que tarda Tex 1 en recorrer 12 metros, conociendo la aceleración.

b.    Averiguar las dimensiones de la base del bólido.

c.    Calcular los metros que recorre Tex 1 en los cuatro primeros segundos a partir de la fórmula que ha obtenido Esther.

Actividades

1.    Para llevar a cabo sus investigaciones, imprime al coche una velocidad inicial de V_o m/s durante un trayecto 0A. A partir de este punto, acelera al máximo y mide el espacio s que ha recorrido en un determinado tiempo t. Utiliza la fórmula del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado que es s=1/2 at²+V_ot, siendo a la aceleración. Para cada valor del tiempo t, ¿es s una función cuadrática? ¿Cuáles son los coeficientes?

2.    La fórmula s=1/2 at²+V_ot, ¿cómo la puedes convertir en una ecuación de segundo grado? ¿Cuáles serán sus coeficientes?

3.    Tex 1 parte desde un punto A en  reposo (V_o=0). Esther le imprime una aceleración de 6 m/s² y quiere medir el tiempo que tarda en recorrer 12 m. La fórmula que obtiene es 1/2 ×6×t²-12=0. Explica por qué. ¿Qué tipo de ecuación es? Resuélvela.

4.    Si el bólido parte de reposo (V_o=0) y el espacio que recorre es cero, la fórmula obtenida es 1/2 ×6×t²-12=0, siendo la aceleración de 6 m/s². ¿Cómo es la ecuación? Resuélvela.

5.    La base del coche es un cuadrado. Esther ha comprobado que el coche más veloz es aquel cuya superficie de la base coincide con su perímetro. Llama x a la longitud del lado, plantea la ecuación y resuélvela.

6.    Una de las ecuaciones que ha obtenido Esther es s=2t²-3t+2, donde t representa el tiempo en segundos y s el espacio recorrido en un tiempo t. Explica por qué esta fórmula es una función cuadrática y calcula los metros que recorre Tex 1 en los cuatro primeros segundos.

8.23. PROBLEMAS DE SISTEMAS

PROBLEMAS DE SISTEMAS

Ricardo Larriba ha conseguido levantar una pequeña empresa de exportación de vinos. En sus comienzos fue un modesto comerciante, propietario de una humilde venta.

Durante los últimos años se han ido convirtiendo, poco a poco, en un excelente catador de vinos, lo que le hace ser un exigente empresario dispuesto a ofrecer productos de extrema calidad.

En la actualidad son varios los países extranjeros clientes de Ricardo. Los pedidos son recibidos mediante cartas y el vino se envía envasado a través de las agencias de transporte.

Objetivos

a.    Calcular cuántas botellas de vino tinto y cuántas de blanco debe mandar a un determinado país.

b.    Indicar el número de botellas que debería haber mandado a un determinado cliente.

c.    Averiguar la cantidad de vino blanco y tinto que debe mezclar para obtener un vino clarete a 48 pesetas el litro.

Actividades

1.    Ricardo exportó a Inglaterra 9.600 botellas de vino embalados en cajas de 12 y 6 botellas. Si envió un total de 1.200 cajas. ¿Cuántas cajas de cada clase mandó?

2.    Después de hacer un estudio de mercado en un cierto país, se llegó a la conclusión de que por cada 5 botellas de vino tinto se consumían 2 de vino blanco. Si le han pedido 14.000 botellas, ¿cuántas botellas de cada clase debe enviar?

3.    Si 3 litros de vino blanco y 2 de tinto cuestan 240 pesetas y 3 litros de vino tinto y 2 de blanco cuestan 260 pesetas, ¿cuántas cuesta el litro de vino de cada clase?

4.    Un cliente compra vino blanco a 40 pesetas/litros y vino tinto a 60 pesetas/litros por un importe total de 50.000 pesetas. Por ser un buen cliente, Ricardo le hace un descuento del 20% en el vino blanco y un 30% en el tinto, descontándole en total 13.000 pesetas. ¿Cuántas botellas de litro de cada clase compró?

5.    Un cliente pidió un muestrario de botellas para apreciar la calidad del vino. Al apuntar Ricardo el pedido, invirtió por error el orden de las cifras por lo que mandó 18 botellas más de las solicitudes. Este número tenía dos cifras que sumaban 6. ¿Qué número era éste?

6.    El vino clarete se obtiene mezclando vino tinto (que cuesta 60 pesetas el litro) y vino blanco (que cuesta 40 pesetas litro). ¿Cuántos litros de vino blanco se deben mezclar con vino tinto para obtener 15 hl de vino clarete a 48 pesetas?

7.    Se mezclan 24 kg de una clase de uva con 48 kg de otra superior, resultando una mezcla a 26 pesetas el kg. Si por cada 3 kg de uva de clase superior se puedan comprar 5 kg de la clase inferior, averigua el precio por kg de cada una de las dos clases de uva.

8.22. DISCUSION DE SISTEMAS

DISCUSIÓN DE SISTEMAS

Una empresa multinacional, considerada entre las más potentes y sólidas del mundo, se está planteando la posibilidad de abrir nuevas filiales en diferentes países.

Después de numerosísimas reuniones del Consejo de dirección, se ha decidido que el proyecto es viable y se ha determinado que los países apropiados para acoger a una empresa de tal magnitud son los de América del Sur.

A tal fin se cuenta con un seleccionado equipo de economistas que estudian los costes y posibles beneficios de las nuevas sucursales. El trabajo es difícil, ya que los costes iniciales para abrir sucursales son diferentes en los distintos países, así como los posibles beneficios.

Objetivos

a.    Obtener y representar gráficamente la relación entre el beneficio y el tiempo.

b.    Averiguar en qué momento dos sucursales tienen el mismo beneficio.

c.    Indicar cuándo una sucursal tiene más beneficio que otra.

Actividades

1.    En Perú, abrir una sucursal cuesta 7 millones de dólares y en Venezuela 2. Se prevé que Perú obtendría un beneficio de tres cuartos de millón al mes y Venezuela medio millón. Por tanto, el beneficio real que se obtiene en Perú en x meses y= ¾ x – 7, y en Venezuela y= ½ x-2, donde y representa los millones de beneficios en dólares y x los meses. Quita denominadores a estas ecuaciones y obtén ecuaciones equivalentes del tipo ax+by=c.

2.    Las ecuaciones de los beneficios reales en estos dos países son, 3x-4y=28 y x-2y=4, respectivamente. Para saber en cuántos meses en obtiene el mismo beneficio, se resuelve el sistema formado por estas ecuaciones. Resuélvelo. ¿Es un sistema compatible determinado? ¿Al cabo de cuántos años se obtiene el mismo beneficio? ¿Qué beneficio se obtiene?

3.    Resuelve gráficamente el sistema: 

   Comprueba que obtienes la misma solución que en la actividad anterior. Observa la gráfica de estas ecuaciones y calcula cuándo se obtiene mayor beneficio en Perú que en Venezuela.

4.    Las relaciones beneficio-tiempo en Chile y en Argentina son x-4y=20 y 2x-8=40. ¿Cómo es este sistema? Resuélvelo por reducción y obtendrás una ecuación del tipo 0x+0y=0.

5.    Resuelve gráficamente el sistema:

       ¿Se obtiene siempre el mismo beneficio para cualquier número de meses?

6.    Las ecuaciones de la operación financiera en Méjico y Colombia son 2x-5y=20 y 4x-10y=30. ¿Cómo es este sistema? Resuélvelo y obtén una igualdad del tipo 0x+0y=c≠0.

7.    Resuelve gráficamente el sistema:

    ¿Se puede obtener el mismo beneficio para los dos países en el mismo número de         meses? ¿En cuál se obtiene siempre más beneficio?

8.21. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS

SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS

A la estación ferroviaria de Calaminas, ciudad industrial de un pequeño país rico en minería y petróleo, llegan, casi exclusivamente, trenes dedicados al transporte de uranio y oro negro. Tan sólo hay un tren de pasajeros que traslada a los trabajadores desde la ciudad a las minas y a los yacimientos de petróleo.

Jorge es el encargado de distribuir la mercancía en los vagones y de seleccionar el tren adecuado para cada caso.

Las máquinas de estos trenes, de escasa potencia, pueden arrastrar un máximo de 560 t. Cada vagón cisterna lleno pesa 20t y cada vagón de mineral 40 t.

Objetivos

a.    Calcular el número de vagones llenos de cada clase que puede llevar como máximo una máquina.

b.    Calcular el número de vagones de cada clase que debe de llevar un tren de 20 vagones.

c.    Averiguar el número de vagones de cada clase que hay en la estación.

Actividades

1.    Para calcular cuántos vagones cisterna y de mineral puede arrastrar una máquina, Jorge utiliza la ecuación 20x+40y=560, donde x representa el número de vagones cisterna e y el número de vagones de mineral. ¿Cómo es esta ecuación? Indica sus términos y los coeficientes.

2.    En la ecuación 20x+40y=560 sustituye la x por los valores 2, 4, 6, 8, 10 y 12 y obtén los correspondientes valores de y. Escribe estas soluciones como pares ordenados.

3.    Para saber de cuántos vagones de cada clase se compone un tren de 20, Jorge obtiene el sistema:

   ¿Cómo es este sistema de ecuaciones? ¿Es de coeficientes enteros? ¿Es y=8 y x= 12 solución? ¿Por qué?

4.    Si el sistema

     divides entre 20 los términos de la primera ecuación, ¿obtienes un sistema equivalente al dado? Compruébalo viendo si y=8 y x=12 es una solución del sistema.

5.    Resuelve por los tres métodos que conoces, el sistema:

6.    Jorge no encuentra el informe del número de vagones de cada clase que hay en la estación. No obstante, dispone de dos datos: el primero, informa que la tercera parte de los vagones cisterna y la mitad de los de mineral están llenos; el segundo, aclara que hay en total 21 vagones llenos y 30 vacíos. Para calcular cuántos vagones de cada clase hay, obtiene el sistema:

Siendo y el número de vagones de mineral y x el número de vagones cisterna. ¿Es un sistema de coeficientes enteros? Obtén un sistema equivalente que tenga sus coeficientes enteros.

7.    Resuelve por los tres métodos que conoces el sistema:

8.19. ECUACIONES EN Q

ECUACIONES EN Q

Un eminente físico está estudiando las temperaturas de fusión y ebullición de algunos elementos naturales.

A uno de sus mejores termómetros se le han borrado los números que indicaban la temperatura. Para poder seguir haciendo uso de él ha adosado una escalilla que mide las alturas de la columna de mercurio en milímetros. Conocida la altura de mercurio se puede saber la temperatura. Para ello ha introducido el termómetro en agua a 0ºC y en agua hirviendo cuya temperatura es de 100ºC. En el primer caso la columna medía 50 mm y en el segundo 300 mm.

Objetivos

a.    Averiguar cuántos milímetros asciende el mercurio por cada grado de temperatura.

b.    Conocer la temperatura sabiendo los milímetros que mide la columna de mercurio.

c.    Calcular la temperatura de ebullición de un líquido.

Actividades

1.    Para hacer cuántos milímetros de longitud sube el mercurio al aumentar un grado de temperatura, se resuelve la ecuación 50+100x=300, donde x es el aumento de longitud por cada grado de temperatura. ¿Es una ecuación de primer grado? Indica sus términos. ¿Es de coeficiente enteros?

2.    Comprueba que la solución de 50+100x=300 es x=5/2.

3.    Divide los dos miembros de la ecuación 50+100x=300 entre 50 y comprueba que obtienes una ecuación equivalente.

4.    Resuelve la ecuación 1+2x=6.

5.    A cierta temperatura la columna de mercurio mide 125 mm. Para saber a qué temperatura está el termómetro se resuelve la ecuación 50+5/2 x = 125, donde x es la temperatura. ¿Es una ecuación de primer grado? ¿Tiene coeficientes racionales? Resuélvela.

6.    Un líquido se congela a 4ºC. Para saber la temperatura en grados Fahrenheit, nuestro físico resuelve la ecuación (x-32)/9 = 4/5, donde x es la temperatura en grados Fahrenheit. Calcula tú esta temperatura.

7.    A cierta temperatura, el número de grados centígrados coincide con el número de grados Fahrenheit. Para conocer esta temperatura resuelve la ecuación (x-32)/9 = x/5.

8.    Por procedimientos teóricos, el físico ha obtenido que la temperatura de ebullición de un líquido debe seguir la ecuación x/6 + x/8 = (x-40)/4 + (x-30)/6, siendo x la temperatura de ebullición. Calcúlala tú mismo resolviendo esta ecuación.

CONSTITUCION DEL CONSEJO LOCAL DE PARTICIPACION

Constitución del Consejo Social de Participación

 en Alhaurin de la Torre

El día 12 de febrero de 2018 a las 17.30 horas en el salón del pleno de la casa consistorial de la ciudad de Alhaurín de la Torre tuvo lugar la celebración de la primera sesión de Consejo Local de Participación para su constitución oficial. 

Con afluencia de públicos y medios de comunicación, se inicia la sesión presidida por el concejal de Participación Social, Manuel Mestanza. En ella asistieron el concejal de Bienestar social y la concejala de Educación por equipo de gobierno y concejales del grupo socialista y de izquierda unida.

Por la parte de la sociedad civil, acudieron los colectivos AMPA Jarapalo, AV El Romeral, Fundación COPROLI, Asociación de Mujeres Victoria Kent, Asociación Deportiva Lauro, Solera, Plataforma por la Salud de la Sierra y Hermandad de Jesús Nazarenos. Se indica que queda por incorporar el sector joven al Consejo.

El concejal de Participación Social informa que la constitución de este Consejo Social es la culminación de un proceso de fomento de la participación ciudadana iniciada con la celebración de los consejos sectoriales.

También manifiesta el inicio en breve tiempo de la plataforma de participación ciudadana Civitas, instrumento muy importante y completo para ser cauce de una ciudadanía activa. Con esta plataforma permite conocer la opinión de los ciudadanos mediante encuestas a las propuestas formuladas para los presupuestos participativos de 2019.

Se informa que en breve se incorporará un directorio de trámite donde se detallará los distintos procedimientos administrativos por departamento, teléfonos y correos electrónicos de las unidades tramitadoras de cada asunto.

En cuanto al 2º Plan Estratégico, aprobado por mayoría de las fuerzas políticas con representación municipal, se procederá a su digitalización para facilitar la compresión y el seguimiento de las propuestas por la ciudadanía.

El presidente del Consejo enumera las distintas funciones de este foro de encuentro, entre ellas, 

- aproximar la actividad municipal a la ciudadanía, fomentar la participación de los ciudadanos, intercambiar información formuladas por los Consejos Sectoriales,

- informar al gobierno municipal del funcionamiento de servicios e instalaciones municipales y propuestas ciudadanas para la mejora,

- coordinar las instituciones públicas y privadas en el pueblo,

- fomentar el voluntariado, 

- divulgar actividades participativas, actividades y acuerdos municipales que afecten al municipio,

- actuar de foro común para la Agenda 21 y Plan Estratégico

- proponer la modificación de la Ordenanza de participación por oportunidad o necesidad normativa.

Se recuerda que por acuerdo plenario se establece la potestad a este Consejo Local las propuestas de imposición de nombres a los nuevos edificios municipales.

Se recuerda que una vez celebrado los consejos sectoriales y los encuentros de trabajo de la sociedad civil con los técnicos para conocer sus realidades, queda por  impulsar la constitución del Consejo Local como vértice de la Participación Ciudadana. Se recuerda en mayo se volverá a celebrar nuevas sesiones de trabajo de los consejos sectoriales y el Consejo Social.

El portavoz socialista manifiesta que es un hecho importante la constitución de este consejo y producto del esfuerzo del concejal de Participación Social, dando su enhorabuena de acercar la realidad ciudadana y social a los políticos.

El concejal de Participación Social que estamos en una fase de aprendizaje mutuo de esta nueva nuevas formas de intervención de los ciudadanos en los asuntos públicos.

La secretaria del consejo con este acto da por constituida el Consejo Local de Participación que volverá a retomar sus trabajos en una nueva sesión en el mes de Mayo. Se levantó la sesión a las 18.15 horas.

8.18. LA FUNCION POLINOMICA

LA FUNCION POLINOMICA

Un grupo de científicos está investigando la relación que hay entre el aumento de longitud y el aumento de temperatura en unas nuevas sustancias de origen plástico no comercializadas todavía.

Aunque en este estudio están ratificando las relaciones que ya se conocían, observan una peculiaridad de estas sustancias y que puede ser de gran utilidad en muchos campos de la tecnología: son extremadamente sensibles al calor, y esto hace que al aumentar la temperatura aumente considerablemente la longitud de los objetos fabricados con ellas, conservando todas sus propiedades.

El mayor o menor aumento de longitud está relacionado con el aumento de la temperatura, y generalmente es una función.

Objetivos

a.    Averiguar si la relación que existe entre la longitud y la temperatura para una determinada sustancia es o no una función.

b.    Representar gráficamente las relaciones entre longitud y temperatura para unas determinadas sustancias.

c.    Determinar, conocida la función que relaciona la longitud y la temperatura, si existe o no aumento de longitud.

Actividades

1.    A las temperaturas de 10ºC, 20ºC, 30ºC y 40ºC corresponde un aumento de longitud de 5 mm, 10 mm, 15 mm y 20 mm, respectivamente. Escribe un diagrama y unas tablas que indiquen relación.

2.    ¿Cuál es la variable independiente y cuál la dependiente? ¿Cuál es el conjunto origen y cuál es el conjunto imagen? ¿Es una función? Haz una representación gráfica de dicha relación.

3.    Si designas por x los aumentos de temperatura y por y los de longitud, ¿sería capaz de escribir una expresión para representar dicha función?

4.    En una sustancia observan que el comportamiento descrito al principio es válido, salvo a la temperatura de 10ºC, que experimenta en ocasiones un aumento de longitud de 5 mm y en otras de 7 mm. ¿Es una función la relación que describe este hecho? Razónalo.

5.    Las fórmulas que representan esa relación para otras sustancias son f(x)=x, f(x)=2x, f(x)=1/2 x, donde f(x) representa el aumento de longitud y x el aumento de temperatura. Representa gráficamente estas funciones y observa qué información dan los distintos coeficientes. Nota: Estas relaciones son válidas para xÎQ⁺.

6.    Si se  llama y a la longitud final y x a la temperatura a la que es sometida una barra de longitud inicial 10 mm y resulta que y=10+2x, ¿sabrías representar gráficamente esta información? ¿Qué valores se pueden dar a x?

7.    Si dos sustancias distintas de 10 mm y 5 mm de longitud inicial responden, respectivamente, a las fórmulas y=10+5x e y=5+2x, ¿existe una temperatura respecto de la cual la longitud de ambas barras coincida? Obsérvalo gráficamente.

8.    ¿Qué ocurriría en las condiciones del problema anterior si las expresiones fuesen y=10+2x e y=5+2x?

9.    Si este estudio de relación entre longitud final y temperatura viniera dado por la función constante y=10, ¿Qué representaría? Obsérvalo gráficamente.