7.14. APLICACIONES DE LA PROPORCIONALIDAD DIRECTA

APLICACIÓN DE LA PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Cuando faltaban sólo 60 días para que comenzaran las Jornadas Deportivas, surgió el problema de tener que ampliar el estudio.

Se contrató un equipo de trabajo pero no a los pocos días se vio que no sería suficiente y se contrataron más equipos. Entre todos finalizaron la obra.

Los presupuestos iniciales se habían desbordado con esta nueva obra por lo que hubo que recurrir a la publicidad.

Objetivos

a.    Calcular cuántas filas hay que añadir al graderío del estado.

b.    Averiguar el tiempo que tardará en acabarse la obra.

c.    Hallar el tanto por ciento de dinero que corresponde a cada equipo contratado.

d.    Calcular cuánto tendrá que pagar una empresa por anunciarse en el estadio.

Actividades

1.    De los siguientes pares de magnitudes. ¿Cuáles crees que son directamente proporcionales? a) horas trabajadas y trabajo realizado, b) horas trabajadas y duración de la obra y c) horas trabajadas y salario percibido.

2.    El estadio tenía una capacidad para 12.500 espectadores repartidos en 10 filas de igual número de butacas. ¿Cuántas filas se deben añadir para que la capacidad sea de 45.000 espectadores?

3.    Si cada 5 días se construye 1/6 del total. ¿Cuántos días se tardará en concluir el trabajo?

4.    Se contrataron tres equipos. El primero realizó 1/3 del trabajo, el segundo 1/5 y el tercero 7/15 del trabajo. Si en total se pagaron 57 millones de pesetas, ¿cuánto le dieron a cada equipo si el reparto fue proporcional al trabajo realizado?

5.    Calcula, con los resultados de la actividad anterior, el tanto por ciento que le correspondió a cada equipo.

6.    El 45% del presupuesto general de la obra se lo llevaron los equipos contratados. ¿A cuánto ascendía el presupuesto general?

7.    La valla exterior sobre la que se colocaría la publicidad era circular de 125 m de radio. La empresa que más espacio contrató rellenó un arco de circunferencia cuyo ángulo central era de 30º. ¿Cuántos tuvo que pagar si el metro se cobró a 180.000 pesetas?

8.    La tribuna estaba cubierta por una marquesina o visera, que fue necesario hacer nueva, en forma de sector circular de 45º de amplitud y 40 m de radio. ¿Cuánto costó el material utilizado si valía a 1.200 pesetas el metro cuadrado?

7.13. PROPORCIONALIDAD

LA PROPORCIONALIDAD

La búsqueda de nuevas fuentes de energía y su transformación despiertan el interés y la imaginación de muchos técnicos de nuestro tiempo.

Un investigador, mezclando agua tratada con distintas cantidades de petróleo, trataba de conseguir carburantes a bajo precio y poco contaminantes. Además, de esta manera conseguiría prolongar las reservas petrolíferas, dando tiempo a buscar otra energía alternativa.

Nuestro investigador mezclaba una cantidad fija de agua con un litro de petróleo. La cantidad variaba según el producto a obtener carburante super, normal o bajo.

Objetivos

a.    Averiguar la aplicación lineal que relaciona el agua con el petróleo según el tipo de carburante.

b.    Calcular el petróleo necesario para formar un cierto producto si se conoce la cantidad de agua utilizada.

Actividades

1.    La cantidad de agua tratada que hay que mezclar con petróleo para obtener carburante super viene dada por la aplicación y=2x, donde x es el número de litros de petróleo utilizado. ¿Es directamente proporcional el número de litros de agua al número de litros de petróleo? ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

2.    Calcula los litros de agua que hay que mezclar con 2, 4 y 5 litros de petróleo para obtener carburante super. Escribe las razones de proporcionalidad que se obtienen y nombra los antecedentes y los consecuentes. Escribe con ellas una proporción y nombra sus términos.

3.    En los apuntes de nuestro inventor hay escritas estas razones de proporcionalidad:

¿Cómo comprobarías si dos de ellas forman una proporción? Escribe, con estas razones, tres proposiciones y comprueba que lo son.

4.    En la actualidad anterior, ¿a qué producto corresponde cada una de las razones si para obtener carburante normal se utilizan 3 l de agua por 1 l de petróleo y para obtener carburante bajo, 4 l de agua por 1 l de petróleo? Escribe las aplicaciones que definen las proporciones.

5.    Sabemos que con 2 litros de petróleo mezclándose con 8 de agua tratada se obtiene carburante bajo. ¿Cuántos litros de petróleo habría que mezclar con 12 l de agua para obtener carburante bajo? Escribe las proporciones correspondientes. ¿Qué término es el número que has hallado en esa proporción?

6.    Tenemos un recipiente con 2 l de petróleo, le añadimos x l de agua tratada y obtenemos el mismo tipo de carburante que si mezclamos x de petróleo con 18 l de agua. ¿Cuánto vale x? ¿Qué carburante se obtiene?

7.    Escribe una proporción continua para cada uno de los carburantes estudiados.

7.12. LAS APLICACIONES AFINES

LAS APLICACIONES AFINES

Una vez finalizada la reforma administrativa, el joven Martín pensó que el actual sistema de compras y ventas no era el idóneo. Debía hacer otra reforma.

Después de hablar con los proveedores y los clientes, encontró la solución: iría a recoger el material a los almacenes y éstos le descontarían una cantidad fija de la factura. Por otra parte, se encargaría de llevar los pedidos a los domicilios de los clientes, aumentándoles la factura en la misma cantidad de dinero que a él le descontaban.

A los tres meses, al hacer balance, vio que el resultado era satisfactorio, aunque fue necesario volver a reformar todas las tablas que había diseñado.

Objetivos

a.    Averiguar cuánto ganó en una venta.

b.    Hallar la aplicación que representa el valor de un pedido de lápices.

c.    Comparar las gráficas de los lápices antes y después de la reforma.

Actividades

Como las compras venían dadas con números negativos (dinero gastado), los descuentos que le hacían los almacenes debería expresarlos con números positivos.

1.    En los pedidos de gomas, que valían a 10 pesetas cada una, llegaron al acuerdo de que el descuento o aumento por pedido sería de 8 pesetas. La aplicación afín f(x)=10x+8, ¿representa el valor de una venta o una compra de gomas?

2.    ¿Cuánto tuvo que pagar al almacén si se llevó 15 gomas? ¿Cuánto cobró a un colegio al que le vendió las 15 gomas?

3.    Por las prisas, en uno de los viajes que hizo apuntó: gomasà f(-7). ¿Qué crees que podía significar? ¿Compró o vendió gomas? ¿Cuál fue el importe de la factura?

4.    Los pedidos de gomas de una semana fueron f(-4), f(6), f(-7), f(5), f(2), f(-14), f(10), f(9), f(-8) y f(4). ¿Cuál fue el importe de cada factura?

5.    Representa gráficamente la aplicación correspondiente a las gomas. ¿Qué obtienes?

6.    A los tres meses, al hacer balance, vio que el método daba resultado y decidió que debido a la subida del coste de la vida debía aumentar en 2 pesetas la cantidad fija de cada factura, tanto en compras como en ventas. ¿Qué aplicación representa ahora el valor de las gomas? Dibújala. ¿La recta que has obtenido es paralela a la primera que habías representado?

7.    Los lápices, antes de la reforma, valían a 5 pesetas. ¿Qué aplicación representaba el valor de cada pedido? ¿Cómo se llama este tipo de aplicación? El aumento por transporte fue de 3 pesetas por pedido. ¿Qué aplicación representa ahora su valor? ¿Cómo se llama esta aplicación?

8.    Representa gráficamente las dos aplicaciones que has hallado en el ejercicio anterior. ¿Cómo son las rectas que has dibujado? 

7.11. APLICACIONES LINEALES

APLICACIONES LINEALES

En la papelería familiar Martín y Cía entró como administrativo el menor de los hijos. En su primer día de trabajo, asustado ante la cantidad de facturas y otros papeles, se dedicó a pensar en un método que facilitase su labor.

Ideó una serie de tablas en las que escribía, en la primera fila, cantidades de material, en la segunda, el precio de cada unidad de material y en la tercera el precio de esa cantidad de material.

Si la cantidad de material que se indicaban correspondía a una compra, se escribía con un número negativo y si correspondía a una venta, con un número positivo. Con estas tablas logró reducir mucho el número de facturas.

Objetivos

a.    Interpretar una tabla en la que aparecen x, a y f(x).

b.    Construir la tabla correspondiente a los lápices.

c.    Representar gráficamente una tabla.

Actividades

1.    Esta es la tabla que realizó para las facturas de las gomas:

x	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
a	10	10	10	10	10	10	10	10	10
f(x)	-40	-30	-20	-10	0	10	20	30	40

Recuerda, ¿qué significa la fila x? ¿Qué significa la fila a? ¿Qué significa la fila f(x)? Interpreta los números -4, -3, -2, -1. ¿Son cantidades compradas o vendidas?

2.    ¿Es una aplicación f(x) si el conjunto inicial es {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} y el final {-40, -30, -20, -10, 0, 10, 20, 30, 40}? ¿Qué significa f(-2)? ¿A que es igual f(-2)? ¿Es cierto que f(3)=30? ¿Cuál es el original de 30?

3.    Obtén las imágenes de los elementos -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 en la aplicación f(x)=10x. ¿Obtienes como imagen de cada elemento el número escrito debajo de él en la fila f(x)?

4.    ¿Qué significa f(-235)? ¿A qué es igual? ¿Se pagó o se cobró? ¿Qué significa f(4516)? ¿Es cierto que se cobraron 45.160 pesetas?

5.    ¿Es f(x)=10 una aplicación lineal? ¿Cómo obtienes la imagen de cualquier número entero?

6.    Para expresar cantidades de lápices lo hizo con otra tabla, pero se le extravió. Sin embargo, recordaba el siguiente dato: f(-8)=-40. ¿Cuándo valía cada lápiz? ¿Cuánto vale a en esa función? Construye la tabla de los lápices tomando 10 valores cualesquiera.

7.    En la tabla de las gomas, ¿cuál es la variable independiente? ¿Cuál es la dependiente? ¿Cuál la constante o coeficiente de la variable independiente?

8.    La tabla de sacapuntas expresaba en la columna x los valores -5, -3, 0, 1, 2, 4, 5 y 7. Si el precio de un sacapuntas era 2 pesetas, completa la tabla. Representa gráficamente f(x). ¿Qué obtienes?

7.10. APLICACIONES

APLICACIONES

Observa sobre un mapa se ha trazado un conjunto de rectas paralelas y secantes entre sí. Es un antiguo sistema para poder expresar la situación de un punto del plano.

Las dos rectas más gruesas se llaman ejes y el punto donde se cortan se llama origen.

Para indicar la situación de cualquier punto haz lo siguiente: señala el punto con tu dedo y muévelo sobre la recta horizontal que pasa por él hasta situarlo en la recta que pasa por el origen.

Si lo has desplazado hacia la izquierda, anota cuántas casillas ha recorrido. Si hacia la derecha, anota también las casillas que ha recorrido pero ponle delante un signo menos.

Después mueve el dedo hasta llegar al origen. Si va de arriba a abajo anota cuántas casillas ha recorrido y si de abajo a arriba, anótalas también pero escribe delante un signo menos.

Los dos números que has escrito y en el orden en que los has escrito te dan la situación del punto.

Si te dieran los dos números, ¿cómo localizarías el punto en el plano?

Objetivos

a.    Expresar con dos números la situación de un punto.

b.    Representar un punto conociendo su situación.

c.    Indicar cómo tienen que ser los dos números para que correspondan a un punto que está sobre las rectas principales.

Actividades

1.    Expresa, mediante dos números, la situación de Mora en el plano. Expresa también la situación de Albera, Cora y Table.

2.    La situación de Bada está dada por los números -5 y -6. Dibuja un sistema de rectas paralelas y secantes como el de la ilustración e indica dónde está ese pueblo. Indica también, en el plano, dónde estará Ura si su situación viene dada por los números 7 y -2.

3.    La situación de un punto del plano se puede expresar formando, con los números que la indican, un par de ordenado. Así, la situación de Mora es (3, 4), la de Cora (-4, -3). ¿Cuál es la par que expresa la situación de Table? ¿Y el de Albera?

4.    ¿Expresa la misma situación el par (-2, 5) que el par (5, -2)? ¿Cuál es la primera componente de (-2, 5)? ¿Y la segunda?

5.    Indica mediante pares ordenados todas las situaciones que se pueden obtener si la primera componente es 3, 4 ó 5 y la segunda es 2 ó 3. Haz el producto cartesiano de A={3, 4, 5} y B={2, 3}. ¿Obtienes todos los pares que has escrito?

6.    De todos los pares de A x B que has obtenido, sólo en tres de ellos puede haber pueblo. Los otros tres están en un embalse. El conjunto de situaciones de estos pueblos es: {(3, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 3), (5, 2), (5, 3)}. ¿Este conjunto es una correspondencia de A x B? ¿Cuál es el conjunto inicial? ¿Y el final? ¿Cuál es el conjunto original? ¿Cuáles son las imágenes de cada elemento?

7.    Representa la correspondencia anterior en un diagrama. ¿Es una aplicación? ¿Por qué?

8.    Con los conjuntos A={-1, -2, -3} y B={1, 2, 3} establece una aplicación inyectiva y sobreyectiva. Representa después los pares en unos ejes cartesianos. ¿Hay dos puntos sobre una misma recta vertical? ¿Por qué crees que es así?

9.    Los pares (0, 5), (-3, 0), (2, 1), (5, 0) y (0, -3) expresan situaciones en el plano. ¿Cuáles de ellos están en el eje horizontal? ¿Cuáles en el vertical? ¿Cómo tiene que ser la segunda componente de un par para estar en el eje de abscisas? ¿Y la primera para estar en el eje de ordenadas?

7.9. PROBLEMAS DE ECUACIONES

PROBLEMAS DE ECUACIONES

Levantar una gran empresa supone mucho esfuerzo. Empezar con un pequeño taller y terminar con una gran factoría es un ejemplo repetido en la sociedad actual.

Una de estas grandes empresas se dedica a la confección de prendas de vestir, proporcionando trabajo a numerosos empleados, hombres y mujeres. Entre todos se ha conseguido duplicar la producción en cada uno de los tres últimos años.

Al tercer año, es el momento de reestructurar la fábrica y se necesita conocer la situación en que se encuentra respecto a número de trabajadores (hombres y mujeres), edades de estos trabajadores, precios de las prendas que confeccionan, variación de la productividad, cantidades de material utilizando en cada prenda, etc.

Algunas de estas cantidades son ya conocidas. Otras no lo son pero podrán ser obtenidas a partir de las anteriores.

Objetivos

a.    Distinguir los datos y la incógnita en cualquier problema referente al número de trabajadores, edades de éstos, precios de las prendas, posibles ahorros de tejidos, etc.

b.    Relacionar los datos con la incógnita planteando y resolviendo una ecuación que solucione el problema.

c.    Calcular cuántos hombres y mujeres trabajan en la fábrica, sabiendo que los hombres son 16 más que el doble de las mujeres, siendo el total de empleados 130.

Actividades

1.    Debido a la experiencia, el trabajador más antiguo de la fábrica produce el triple de prendas que el más joven. ¿Cuántas fabrica cada uno si entre los dos fabrican 20 al día? ¿Cuáles son los datos y la incógnita?

2.    El número de hombres que trabaja en la fábrica es el doble que el de las mujeres más 16. Si en la fábrica trabajan 130 personas, ¿cuántas son hombres? ¿Cuántas mujeres?

3.    En la confección de un chaleco, un abrigo y un traje se emplean 8 metros de tela. Se sabe que la tela del abrigo lleva 1 m más que el doble del chaleco, y que el traje lleva 4 veces la tela del chaleco. ¿Cuántos metros de tela lleva cada prenda?

4.    El hijo de uno de los trabajadores entrará a trabajar en la fábrica cuando su edad sea la mitad de la de su padre y la suma de ambas sea 66 años. ¿A    qué edad  entrará en la fábrica? ¿Cuántos años tendrá su padre?

5.    El empleado de más edad de la fábrica tiene cinco veces la del más joven menos veinte años. Si las edades de ambas suman 76 años, ¿cuántos tiene cada uno?

6.    Hasta el momento, en la fábrica se han utilizado únicamente piezas de 20 metros de largo y 3 de ancho. Para desperdiciar menos tela se va reducir el largo y el ancho en la misma longitud. El perímetro de la nueva pieza será 38 metros. ¿Cuánto se reduce cada lado de la pieza? ¿Cuánto medirán los lados de la nueva pieza?

7.    Si con una pieza de 2 m de largo por 1 m de ancho se confecciona una camisa, ¿qué misma cantidad de centímetros podemos quitar de cada lado si la camisa se puede confeccionar con una pieza de 5 m de perímetro?

8.    Uno de los trabajadores sale de su coche y a una velocidad de 85 km/h. Al mismo tiempo sale de su casa otro trabajador que tiene moto y que circula a 55 km/h. Ambos van por la misma carretera hacia la fábrica, y la casa del motorista está 15 kilómetros más cerca. Llegan juntos a la fábrica. ¿Cuánto tiempo en horas han  tardado? ¿A qué distancia vive cada uno de la fábrica?